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已知函数 $数学公式$ +cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调递减区间；
（III）若 $数学公式$ 时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

解：（I） $\text{[math]}$
∴f（x）的最小正周期，T= $\text{[math]}$
（II）因为y=sinx的减区间为： $\text{[math]}$ ，k∈Z
所以 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ （k∈Z）时，函数f（x）单调递减，
故所求区间为 $\text{[math]}$
（III） $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 时
f（x）取得最小值∴2sin $\text{[math]}$
分析：化简函数 $\text{[math]}$ +cos2x+a（a∈R，a为常数）．为一个角的一个三角函数的形式，
（I）直接根据周期公式求出函数的最小正周期；
（II）借助正弦函数的单调减区间，求函数 $\text{[math]}$ 的单调递减区间；
（III）若 $\text{[math]}$ 时，f（x）的最小值为-2．，求出 $\text{[math]}$ 取得最小值求解即可．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．

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