Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-n，分别令n=1，n=2，n=3，能够求出a₁，a₂，a₃的值．
（Ⅱ）由S_n=2a_n-n，得a_n=2a_n-1+1，所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*），由此能求出数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1．…（1分）
再分别令n=2，n=3，
解得a₂=3，a₃=7．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
∴S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2，n∈N^*），
两式相减得a_n=2a_n-1+1，…（6分）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2，n∈N^*），…（8分）
∵a₁+1=2，
∴a_n+1是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+1=2n，
∴an=2n-1，…（10分）
∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），
∴S_n=2a_n-n=2ⁿ⁺¹-n-2，（n∈N^*）．…（12分）

点评：本题考查数列通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法、构造法的合理运用．