Question

已知实数c≥0,曲线C：y=与直线l：y=x-c的交点为P(异于原点O)，在曲线C上取一点P₁(x₁,y₁)，过点P₁作P₁Q₁平行于x轴，交直线l于点Q₁，过点Q₁作Q₁P₂平行于y轴，交曲线C于点P₂(x₂,y₂)，接着过点P₂作P₂Q₂平行于x轴，交直线l于点Q₂，过点Q₂作直线Q₂P₃平行于y轴，交曲线C于点P₃(x₃,y₃)，如此下去，可以得到点P₄(x₄,y₄),P₅(x₅,y₅),…, P_n(x_n,

x_N),….设点P的坐标为(a,),x₁=b,0＜b＜a.

(1)试用c表示a，并证明a≥1;

(2)试证明x₂＞x₁,且x_n＜a(N∈N^*);

(3)当c=0,b≥时，求证: ＜ (k,N∈N^*).

Answer 1

(1)解:点P的坐标(a,)满足方程组所以=a-c.?

解a--c=0,得=,所以a=(1+2c+).                         ?

因为c≥0,所以1+2c+≥2.所以a≥1.                                                       

(2)证明:由已知P₁(b,),Q₁(+c,),P₂(+c,),?

即x₁=b,x₂=+c,                                                                                            ?

x₂-x₁=+c-b,?

由(1)c=a-,所以x₂-x₁=+a--b=(-)(+-1).?

因为0＜b＜a,a≥1,所以x₂＞x₁.                                                                                 ?

下面用数学归纳法证明x_n＜a(n∈N^*).?

当n=1时，x₁=b＜a;假设当n=k时，x_k＜a,?

由已知，x_k+1=y_k+c,x_k＞0,所以x_k+1=+c=+a-＜a.?

综上，x_n＜a(n∈N^*).                                                                                               ?

(3)解:当c=0时，≤b＜a=1,x_n+1=y_n=(n∈N^*),??

所以x_n=x_n-1=x_n-2=…=x₁=b.                                                              ?

因为b≥,所以当k≥1时，x_k+2≥x₃≥().?

所以.                                                                                                     ?

又x_k+1-x_k=b-b＞0,?

所以≤b=x₁＜x_n＜a=1,x_n-x₁＜1-=.                                                                 

所以≤=(x_n+1-x₁)＜.