Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0(n＝1，2，…)，

(1)求q的取值范围；

(2)设b_n＝a_n+2－a_n+1，记{b_n}的前n项和为T_n，试比较S_n和T_n的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0．当q＝1时，Sn＝na1＞0． 　　当q≠1时，，即(n＝1，2，…)，上式等价于不等式组 　　①或②(n＝1，2，…)． 　　解①式，得q＞1；解②式，由于n可为奇数、可为偶数，得－1＜q＜1．综上，q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)． 　　(2)由bn＝an+2－an+1，得bn＝an(q2－q)， 　　∴Tn＝(q2－)Sn． 　　于是Tn－Sn＝Sn(q2－q－1)＝Sn(q＋)(q－2)． 　　又∵Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0， 　　当－1＜q＜－或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn； 　　当－＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn； 　　当q＝－或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn． 　　思路分析：根据Sn＞0，解不等式可求出q的取值范围；(2)中可以利用bn＝an+2－an+1，找到前n项和Tn与Sn的关系式，再比较大小时就较容易了，另外要注意分类讨论．