Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．

(1)求证：AB₁⊥面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的正弦值；

Answer 1

答案：
解析：

解答：解法一： 　　(1)取中点，连结． 　　为正三角形，． 　　正三棱柱中， 　　平面平面， 　　平面．　2分 　　连结， 　　在正方形中，分别为 　　的中点， 　　，　4分 　　．在正方形中，， 　　平面．　6分 　　(2)设与交于点，在平面中，作于，连结， 　　由(Ⅰ)得平面．， 　　为二面角的平面角．　8分 　　在中，由等面积法可求得，又， 　　． 　　所以二面角的正弦大小　12分 　　解法二： 　　(1)取中点，连结．为正三角形，． 　　在正三棱柱中，平面平面， 　　平面．　2分 　　取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向 　　建立空间直角坐标系，　3分 　　则，，，，， 　　，，． 　　，， 　　，． 　　平面．　6分 　　(2)设平面的法向量为 　　，． 　　，， 　　 　　 　　令得为平面的一个法向量．　9分 　　由(1)知平面，为平面的法向量． 　　，． 　　二面角的正弦大小为　12分