Question

（2012•温州一模）若不等式-1＜ax²+bx+c＜1的解集为（-1，3），则实数a的取值范围是

-

1

2

＜a＜

1

2

．

Answer 1

分析：分类讨论：当a=0时，b≠0，适当选取b，c可以满足题意；当a＞0时，不等式-1＜ax²+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上；当a＜0时，不等式-1＜ax²+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，利用不等式的解集，即可求得结论．

解答：解：由题意，分类讨论可得：
当a=0时，b≠0，不等式的解集（-1，3），适当选取b，c可以满足题意．
当a＞0时，不等式-1＜ax²+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上，
所以x=-1时，a-b+c=1，x=3时，9a+3b+c=1，
最小值为x=1时，a+b+c＞-1，联立解这个不等式组得：a＜

1

2

，∴0＜a＜

1

2

；
当a＜0时，不等式-1＜ax²+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，
所以x=-1时，a-b+c=-1，x=3时，9a+3b+c=-1，
最大值为x=1时，a+b+c＜1，联立解这个不等式组得：a＞-

1

2

，∴-

1

2

＜a＜0
综上知，-

1

2

＜a＜

1

2

．

点评：本题考查不等式的综合，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．