Question

设函数f(x)=(a-1)x-

1

x

-alnx（a≤2）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（II）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

对任意n∈N*都成立．

Answer 1

分析：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数f′(x)=(a-1)+

1

x2

-

a

x

=

[(a-1)x-1](x-1)

x2

（x＞0），令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，分类讨论，确定g（x）的正负，即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性；
（II）利用数学归纳法证明，当n=k+1时，利用分析法进行证明．

解答：（I）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=(a-1)+

1

x2

-

a

x

=

[(a-1)x-1](x-1)

x2

（x＞0）
令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，…（1分）
①当a=2时，对任意x∈（0，+∞），f′（x）=

(x-1)2

x2

≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a≤1时，f′(x)=

-[(1-a)x+1](x-1)

x2

，
∵-[（1-a）x+1]＜0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴x≥1时，f′（x）≤0，0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴函数在[1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
③当1＜a＜2时，令f′（x）≤0可得1≤x≤

1

a-1

，令f′（x）≥0可得0＜x≤1或x≥

1

a-1

，
∴函数在（0，1]和[

1

a-1

，+∞）上是增函数，在[1，

1

a-1

）上是减函数；
（II）证明：（1）当n=1时，左边-右边=1-(ln2+

1

4

)=

3

4

-ln2=

1

4

(lne3-ln16)＞0
不等式成立…（7分）
（2）假设n=k（k∈N^*）不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞ln(k+1)+

k

2(k+1)

成立
那么，当n=k+1时，左边=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

)+

1

k+1

＞[ln(k+1)+

k

2(k+1)

]+

1

k+1

+

1

k+1

…（8分）
下面证明：[ln(k+1)+

k

2(k+1)

]+

1

k+1

≥ln[(k+1)+1]+

k+1

2(k+2)

即证

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0…（9分）
由（Ⅰ）知当a=2时，f(x)=x-

1

x

-2lnx在（0，+∞）上单调递增
则对任意k∈N^*，都有f(

k+2

k+1

)≥f(1)=0成立
即对任意k∈N^*，都有

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0成立
因此n=k+1时成立
由（1）（2）及数学归纳法原理知
原不等式对任意n∈N^*都成立．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，考查数学归纳法与分析法的运用，综合性强．