Question

集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，D＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若d∈D，求证：必存在a∈A，b∈B，使d＝a＋b；

(2)对任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈D？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵d∈D，∴存在n∈Z，使d＝6n＋3．令a＝3n＋1，b＝3n＋2，n∈Z，则a∈A，b∈B，且d＝a＋b．故存在a∈A，b∈B，使d＝a＋b． 　　(2)设a∈A，b∈B，则a＝3m＋1，b＝3t＋2，m、t∈Z，a＋b＝3(m＋t)＋3．当m＋t为偶数，即m＋t＝2n，n∈Z时，a＋b＝6n＋3∈D；当m＋t为奇数，即m＋t＝2n－1，n∈Z时，a＋b＝6nD． 　　∴对任意的a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈D． 　　解析：对于(1)要注意灵活拆分，对于(2)要注意分情况讨论．