Question

单位正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中(注：单位正方体是指棱长为1的正方体)，点Q是棱DD₁上的动点．

(1)试讨论过A、Q、B₁三点的截面图形的形状；

(2)设D₁Q＝x，过A、Q、B₁三点的截面面积为S(x)，试求函数y＝S(x)的表达式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①当点Q重合于点D1时，截面是正三角形，形状如图(1)所示； 　　②当点Q重合于点D时，截面AB1Q(D)与平面CDD1C1有交线DC1，于是截面图形为矩形DAB1C1，图形如图(2)所示； 　　③当点Q在线段DD1之间运动时，则AQ与A1D1相交，设交点为H，显然HB1与D1C1也相交，设交点为R，则截面图形为梯形AB1RQ，图形如图(3)所示． 　　(2)①当x＝0，即Q重合于点D1时，截面如图(1)所示． 　　S(0)＝； 　　②当x＝1，即Q重合于点D时，截面如图(2)所示． 　　S(1)＝＝DA×AB1＝； 　　③当0＜x＜1时，易知截面图形是一个等腰梯形．截面如图(3)所示． 　　∵D1Q∥A1A， 　　∴． 　　∴． 　　在等腰△HAB1中，取AB1的中点G，连结HG，则HG为等腰△HAB1底边上的高． 　　∵AB1＝，， 　　， 　　∴． 　　又△HQR∽△HAB1，且HQ∶HA＝x∶1， 　　∴S△HQR＝x2·． 　　∴S(x)＝－S△HQR＝(1＋x)． 　　上述式子中，当x＝0时，；当x＝1时，S＝． 　　故S(x)＝(1＋x)(0≤x≤1)． 　　注意：以下几点值得我们重视： 　　(1)作截面时，要注意截面的完整性，应画出截面与正方体各面所在平面的交线．确定两个平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，这两个公共点的连线就是两个平面的交线． 　　(2)本题中求截面图形的面积问题，基于第(1)问的正确求解．在分三种情形求出各自的面积后，应检查两个特例的情形满足一般的情形，也就是应将结果统一表示，而不是用分段函数来表示． 　　(3)在本例的解答中，计算△HQR的面积时，利用了“相似三角形的面积比等于相似比的平方”的结论，这样实现了快速简捷的解题．解立体几何计算问题，离不开平面几何作为基础．把空间图形投影到平面上，或是画出某个截面图，都是由空间向平面的转化，都是通过图形的直观性并利用平面几何中的相关知识解决问题． 　　(4)平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，借助这些性质可以很好地研究平面截多面体所得图形的形状与性质．