Question

点P（x，y）是曲线y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x，y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，有下列三个命题：
①PA=PB；
②△OAB的面积是定值；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是    （填写命题的代号）

Answer 1

【答案】分析：曲线C在点P处的切线方程为，求出A（2x，0），B（0，），P（x，），由此得到PA=PB，△OAB的面积S==2；由题意知曲线C上不存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
解答：解：∵（x＞0），
∴y′=-，
∴曲线C在点P处的切线方程为：y-=-（x-x），
整理，得，
∴A（2x，0），B（0，），P（x，），
∴PA=PB=，故①正确；
∵A（2x，0），B（0，），
∴△OAB的面积S==2，故②正确；
曲线C上不存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形，故③不正确．
故答案为：2
点评：本题考查反比例函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．