Question

（2013•杭州一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，右焦点到直线l₁：3x+4y=0的距离为

3

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l₂：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l₁上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得

3c

32+42

=

3

5

，得c值，由离心率可得a值，再由b²=a²-c²可得b值；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线l₂：y=kx+m代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1得到：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l₂得纵坐标，由中点在直线l₁上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S_△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值；

解答：解：（Ⅰ）由右焦点到直线l₁：3x+4y=0的距离为

3

5

，得

3c

32+42

=

3

5

，解得c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线l₂：y=kx+m代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1得到：
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
因此x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，
所以AB中点M（

-4km

4k2+3

，

3m

4k2+3

），
又M在直线l₁上，得3×

-4km

4k2+3

+4×

3m

4k2+3

=0，
因为m≠0，所以k=1，故x1+x2=

-8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

，
所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-m2

，
原点O到AB的距离为d=

|m|

2

，
得到S=

2 3

7

m2(7-m2)

≤

2 3

7

×

m2+(7-m2)

2

=

3

，当且仅当m²=

7

2

取到等号，检验△＞0成立．
所以△OAB的面积S的最大值为

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查弦长公式、点到直线的距离公式及用不等式求函数最值，考查函数思想．