Question

已知如图几何体，矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M为AF的中点，BN⊥CE．
（Ⅰ）求证：CF∥平面MBD；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDN．

Answer 1

分析：（ I）连接AC交BD于O，连接OM，证明FC∥MO，然后证明CF∥平面MBD；      
（ II）因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，推出AF⊥平面ABCD．证明FC⊥BD，证明EF⊥BN，BN⊥FC，
然后证明CF⊥平面BDN即可．

解答：证明：（ I）证明：连接AC交BD于O，连接OM
因为M为AF中点，O为AC中点，
所以FC∥MO，
又因为MO?平面MBD，
所以CF∥平面MBD；                                   …（4分）
（ II）因为正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，
所以AF⊥平面ABCD．
所以AF⊥BD，又因为
所以BD⊥平面ACF，所以FC⊥BD
因为，正方形ABCD和矩形ABEF，所以AB⊥BC，AB⊥BE，
所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥BN，又因为EF∥AB，所以EF⊥BN
又因为EC⊥BN，所以BN⊥平面CEF，所以BN⊥FC，
所以CF⊥平面BDN．                                 …（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直，直线与平面平行的证明，考查空间想象能力，计算能力．