Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且an+1=2Sn+2n+1-1，n=1，2，3，…．
（I）设bn=an+2n，n=1，2，3，…，证明数列{b_n}是等比数列；
（II）设cn=

2n

(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

，n=1，2，3，…，求c1+c2+…+cn．

Answer 1

（I）∵an+1=2Sn+2n+1-1(n≥1)
当n≥2时，an=2Sn-1+2n-1
两式相减得an+1=3an+2n(n≥2)…（3分）
从而bn+1=an+1+2n+1=3an+2n+2n+1=3(an+2n)=3bn(n≥2)，
∵S2=3S1+22-1，即a₁+a₂=3a₁+3，
∴a₂=2a₁+3=5，∴b₂≠0，b_n≠0，
∴

b2

b1

=

a2+4

a1+2

=

9

3

=3，
故

bn+1

bn

=3(n=1，2，3，…)，
∴数列{b_n}是公比为3，首项为3的等比数列．…（6分）
（II）由（I）知bn=3•3n-1=3n，b1=an2n，
∴an=3n-2n，
∴cn=

2n

(1+3n-an)(1+3n+1-an+1)

=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

．
则cn=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

=

1

1+2n

-

1

1+2n+1

．…（10分）
c1+c2+…+cn=

1

1+21

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

1+2n

-

1

1+2n-1

=

1

3

-

1

1+2n+1

．…（12分）