Question

已知抛物线C：x²=2py（p>0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3。

（1）求抛物线C的方程；
（2）过坐标平面上的点F'作抛物线C的两条切线l₁和l₂，分别交x轴于A，B两点。
（i）若点F'的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或抛物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明。

Answer 1

解：（1）由抛物线的定义，得，解得p=2
故抛物线C的方程为x²=4y。
（2）（i）依题意知，过点F'（0，-1）且与曲线C相切的直线的斜率存在，设其方程为y=kx-1，
由得x²-4kx+4=0
令Δ=0得k=±1
故所求的两条切线分别为l₁：y=x-1；l₂：y=-x-1
设l₁交x轴于点A，l₂交x轴于点B
由得A（1，0），
由得B（-1，0）
设△ABF'的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则
解得
故△ABF的外接圆方程为x²+y²=1，它过点F（0，1）。
（ii）命题：设F'为抛物线x²=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l₁，l₂，分别交x轴于A，B两点，则△ABF'的外接圆过此抛物线的焦点F，
证明：设l₁，l₂分别切抛物线x²=2py于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则x₁≠0，x₂≠0
∵y'=，故l₁，l₂的方程分别为（x-x₁）和y-y₂=
由得
由得
由得F'
AB的垂直平分线方程为
AF′的垂直平分线方程为
它们的交点为
又，
故AF的中点为
所以，
∴。