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    已知递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列．

    (1)求的首项和公比；

    (2)设，求．

    答案：略
    解析：

    解：(1)由得．

    设等比数列的公比为q，则，，

    ∵，，成等差数列，

    ∴

    解得或2．

    ∵是递增数列，

    ∴，∴．

    ∵，∴，

    ∴，∴，．

    (2)

    ∴．


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    第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.

    如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.

    （1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；

    （2）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；

    （3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.

     

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