Question

如图，P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PAC、△PAB的重心.

(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC；

(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.

Answer 1

分析:(1)欲证结论成立，需证明面A′B′C′内两条相交直线A′B′、A′C′都与面ABC平行即可.

    如要证A′C′∥面ABC，只需证A′C′∥MN，而由三角形重心的性质易得A′C′∥MN.

(2)求出△A′B′C′与△ABC的相似性.

(1)证明:连结PA′、PC′，并延长交BC、AB于N、M两点，连结MN.

∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,

∴PA′=PN,PC′=PM.

∴A′C′MN.

∴A′C′∥平面ABC.

    同理,A′B′∥平面ABC.

    又A′C′∩A′B′=A′,

∴平面A′B′C′∥平面ABC.

(2)解:由(1)知A′C′=MN=AC,

∴S_{△A′B′C′}∶S_△ABC=.

点评:平面几何中的几何性质(如本题重心)在立体几何中仍然成立.