Question

（2012•西城区二模）已知函数f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-

2(x+1)(x-1)

(x2+1)2

．    …（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求导函数可得，f′(x)=-

2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

．                             …（6分）
当a=0时，f′(x)=

2x

(x2+1)2

，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．          …（7分）
当a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x- 1 a )

(x2+1)2

．
①当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；单调增区间是(-a，

1

a

)．…（10分）
②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的单调增区间是(-∞，

1

a

)；单调减区间是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（13分）
综上，a＞0时，f（x）在（-∞，-a），(

1

a

，+∞)单调递减；在(-a，

1

a

)单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在(-∞，

1

a

)，（-a，+∞）单调递增；在(

1

a

，-a)单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．