Question

设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn． (1) 若首项a1＝，公差d＝1，求满足Sk2＝(Sk)2的正整数k (2) 求所有的无穷等差数列｛an｝，使得对于一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：当a1＝，d＝1时，Sn＝na1｜d＝n＋＝n2＋n． 　　由Sk2＝(Sk)2，得k4＋k2＝(k2＋k)2，即k3(k－1)＝0．又k≠0，所以k＝4．

(2)

方法一　设数列｛an｝的公差为d，则在Sk2＝(Sk)2中分别取k＝l，2，得即 　　由①得a1＝0或a1＝1． 　　当a1＝0时，代入②得d＝0或d＝6． 　　若a1＝0．d＝0，则an＝0．Sn＝0，从而Sk2＝(Sk)2成立 　　若a1＝0，d＝6，则an＝6(n－1)．由S3＝18，(S3)2＝324，S9＝216知S9≠(S3)2，故所得数列不符合题意． 　　当a1＝1时，代入②得4＋6d＝(2＋d)2，解得d＝0或d＝2． 　　若a1＝1，d＝0，则an＝1，Sn＝n．从而Sk2＝(Sk)2成立 　　若a1＝1，d＝2，则an＝2n－1，Sn＝n2，从而Sk2＝(Sk)2成立． 　　综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： 　　①｛an｝：an＝0，即0，0，0，… 　　②｛an｝：an＝1，即1，l，1，… 　　③｛an｝：an＝2n－1，即1，3，5，… 　　方法二　设数列｛an｝的公差为d，则在Sk2＝(Sk)2中取k＝1时，有S1＝(S1)2即a1＝，解得a1＝0或a1＝1． 　　当a1＝0时，Sn＝d．要使Sk2＝(Sk)2对于一切正整数k都成立 　　即d＝d2对于一切正整数k都成立，整理得(2d－d2)k4＋2d2k3－(2d－d2)k2＝0，所以只须，　　即d＝0． 　　当a1＝1时，Sn＝n＋d，要使Sk2＝(Sk)2对于一切正整数k都成立， 　　即k2＋d＝对于一切正整数k都成立，整理得 　　(2d－d2)k2＋(2d2－4d)k＋(2d－d2)＝0． 　　所以只须即d＝0或d＝2． 　　综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： 　　①｛an｝：an＝0，即0，0，0，… 　　②｛an｝：an＝1，即1，1，1，… 　　③｛an｝：an＝2n－1，即l，3，5，… 　　方法三：设数列｛an｝的公差为d，要使Sk2＝(Sk)2对于一切正整数k都成立，即k2a1＋d＝，整理得(2d－d2)k2＋(2d2－4a1d)k＋4a1－－2d＋4a1d－d2＝0． 　　所以只须解得d＝0或d＝2． 　　当d＝0时，a1＝0或a1＝1；当d＝2时，a1＝1． 　　综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： 　　①｛an｝：an＝0，即0，0，0，… 　　②｛an｝：an＝1，即1，1，1，… 　　③｛an｝：an＝2n－1，即l，3，5… 　　点评：本题的求解重在将问题直接翻译，即将数学语言用数学符号来表示．第(2)问的求解过程体现了问题求解的几种思想：方法一是利用特殊思想解决一般问题，要注意检验；方法二是根据实际情形，部分内容采用特殊思想；方法三是利用一般方法直接求解，然后由多项式的恒等知识解决问题．要注意含字母问题的计算，以防漏解，如对公差d＝0，公比q＝1要考虑全面．