Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）当时，求f（x）的值域．

Answer 1

解：f（x）=2cosxsin（x+）-（sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin+cos）-+sin2x
=sinxcosx+-++
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+）
（1）因为T===π，所以函数的最小正周期是π．
（2）y=sinx的单调增区间是[2kπ-，2kπ+]k∈Z，则函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx
即：2sin（2x+）的单增区间：2x+∈[2kπ-，2kπ+]
解得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）
（3），则2x+∈[，]，所以2sin（2x+）∈[，1]
所以函数的值域为：[，1]．
分析：函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx，利用和角公式，以及二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期公式直接求出f（x）的最小正周期；
（2）利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间即可；
（3）当时，求出2x+的范围，然后求出2sin（2x+）的范围就是 求f（x）的值域．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．