Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=
当a≥0时，f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
则当x∈（0， ）时，f′（x）>0；
x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减。
（2）不妨假设x₁≥x₂，而a＜-1，
由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而x₁，x₂∈（0，+∞），
|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ ①
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=+2ax+4
①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
即+2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立
从而a≤
故a的取值范围为（-∞，-2]。