Question

11．已知θ是第二象限角，且${sin^4}θ+{cos^4}θ=\frac{5}{9}$，则sin2θ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin2θ的值．

解答 解：∵θ是第二象限角，∴sin2θ=sinθcosθ＜0，且${sin^4}θ+{cos^4}θ=\frac{5}{9}$=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θ•cos²θ=1-$\frac{1}{2}$•sin²2θ，
即 $\frac{5}{9}$=1-$\frac{1}{2}$•sin²2θ，∴sin2θ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．