Question

（2012•孝感模拟）已知函数f（x）=

1

x

+aln（x+1）
（I）当a=2时，求f（x）的单调区间和极值；
（II）若f（x）在[2，4]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，f′（x）=

2x2-x-1

x2(x+1)

=

(x-1)(2x+1)

x2(x+1)

，再根据导数与单调性的关系及极值的定义求出f（x）的单调区间和极值．
（II）若f（x）为增函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≥0恒成立，若f（x）为减函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≤0恒成立，由此得到参数所满足的不等式即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）当a=2时，f（x）=

1

x

+2ln（x+1），定义域是（-1，0）∪（0，+∞），
f′(x)=-

1

x2

+

2

x+1

，即f′（x）=

2x2-x-1

x2(x+1)

=

(x-1)(2x+1)

x2(x+1)

，
由f′（x）＞0，得，-1＜x＜-

1

2

，或x＞1．
由f′（x）＜0，得-

1

2

＜x＜0，或0＜x＜1．
所以f（x）的单调递增区间为（-1，-

1

2

）和（1，+∞），
f（x）的减区间为（-

1

2

，0）和（0，1）．

x	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	↓	极小值	↑

∴极大值f（-

1

2

）=-2-2ln2，极小值f（1）=-1+2ln2．
（II）若f（x）为增函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≥0恒成立，
即

ax2-x-1

x2(x+1)

≥0，变形，得a≥

x+1

x2

；
当x∈[2，4]时，

x+1

x2

=

1

x

+

1

x2

≤

3

4

，
∴a≥

3

4

．
若f（x）为减函数，则当x∈[2，4]时，f（x）≤0恒成立，
即

ax2-x-1

x2(x+1)

≤0，变形得a≤

x+1

x2

，
当x∈[2，4]时，

x+1

x2

=

1

x

+

1

x2

≥

5

16

，∴a≤

5

16

，
综上所述：a≥

3

4

或a≤

5

16

．

点评：本题考查函数的单调区间、极值的求法，考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．