Question

18．已知直线l₁：x+2y=a+2和直线l₂：2x-y=2a-1分别与圆（x-a）²+（y-1）²=16相交于A，B和C，D，则四边形ABCD的内切圆的面积为8π．

Answer 1

分析 由直线方程判断出两条直线垂直，联立后求出交点坐标后可得：交点是圆心，求出四边形ABCD的边长和形状，再求出内切圆的半径和面积．

解答 解：由题意得直线l₁：x+2y=a+2和直线l₂：2x-y=2a-1，则互相垂直，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=a+2}\\{2x-y=2a-1}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线l₁和直线l₂交于点（a，1），
∵圆（x-a）²+（y-1）²=16的圆心是（a，1），
∴四边形ABCD是正方形，且边长是$4\sqrt{2}$，
则四边形ABCD的内切圆半径是2$\sqrt{2}$，
∴内切圆的面积S=$π（2\sqrt{2}）^{2}$=8π，
故答案为：8π．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，两条直线垂直的条件，判断出两条直线垂直且交点是圆心是解题的关键．