Question

已知函数f(x)=(2log2x-2)(log4x-

1

2

)．
（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；
（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=log₄x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域；
（2）令t=log₄x，则可将已知问题转化为2t²-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即m≤t+

1

2t

-

3

2

对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案．

解答：解：（1）f(x)=(2log4x-2)(log4x-

1

2

)，
令t=log4x，x∈[2，4]时，t∈[

1

2

，1]
此时，y=(2t-2)(t-

1

2

)=2t2-3t+1，
当t=

3

4

时，y取最小值-

1

8

，
当t=

1

2

或1时，y取最大值0，
∴y∈[-

1

8

，0]
（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，
令t=log₄x，
即2t²-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，
∴m≤t+

1

2t

-

3

2

对t∈[1，2]恒成立
易知g(t)=t+

1

2t

-

3

2

在t∈[1，2]上单调递增
∴g（t）_min=g（1）=0，
∴m≤0．

点评：本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档