Question

设f（x）=x²+ax是R上的偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（I）由f（x）是偶函数，即f（-x）=f（x），求得a的值；
（Ⅱ）用定义证明f（x）的单调性，基本步骤是：取值，作差，判正负，下结论．

解答：解：（I）对任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）²+a（-x），
即f（-x）=x²-ax，
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x²-ax=x²+ax，
∴-a=a，即a=0；
（ II）由（I）知f（x）=x²，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x12-x22=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂
∴x₂+x₁＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用与单调性的判定问题，是基础题．