Question

已知a=()，b=(sinx，cosx)，f(x)=a·b，若m²-4n＞0，m，n∈R，求证:“|m|+|n|＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在区间()内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

Answer 1

解：因为f(x)=sin(x+)，

x+∈()，

所以f(x)=t∈(-1，1)，且在()上是严格单调递增的．

于是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在区间()内有两个不等的实根”等价于“方程g(t)=t²+mt+n=0在区间(-1，1)内有两个不等的实根”．

所以“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在区间()内有两个不等的实根”等价于

      

先证明充分性：由|m|+|n|＜1得

|m|＜1＜1，且1＞±m-n，

即g(±1)＞0．所以充分性成立．

再证不必要性：取m=1，n=，显然满足(*)，但

是|m|→|n|＜1不成立，

即得不必要性成立．

综合以上得命题成立．