Question

某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．
（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；
（Ⅱ）设ξ 为该幸运观众摸球停止时所得的奖金数（元），求ξ 的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）利用排列组合公式，我们易计算出“该幸运观众摸球三次就停止”的个数，及所有事件的总个数，代入古典概型公式，即可得到答案．
（II）由于奖金数为摸出红球个数的1000倍，故ξ的可能值为0，1000，2000，分别计算出ξ分别取0，1000，2000时的概率，即可得到ξ 的分布列，代入期望公式，即可得到数学期望Eξ．

解答：解（Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A，
则P（A）=

C 1 2 • C 1 3 • A 2 2

A 3 5

=

1

5

．（5分）
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1000，2000．（7分）
P（ξ=0）=

A 2 2

A 2 5

+

C 1 2 • A 2 2

A 3 5

=

1

6

，
P（ξ=1000）=

C 1 2 • C 1 2 •  A 2 2

A 3 5

+

C 1 2 • C 1 2 • A 3 3

A 4 5

=

1

3

，
P（ξ=2000）=

C 2 2 • C 1 2 • A 3 3

A 4 5

+

C 3 3 • C 1 2 • A 4 4

A 5 5

=

1

2

．（10分）

∴Eξ=0×

1

6

+1000×

1

3

+2000×

1

2

=

4000

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点是等可能事件的概率，离散型随机变量及其分布列，散型随机变量的期望与分差，其中在计算ξ分别取0，1000，2000时，观察摸球的情况时，要注意不重漏，这是解答本题的易错点．