Question

如图，这是我国一古代高大建筑，现有一个测角器和一个可测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)，请你设计一种测量方案，并给出计算该建筑物的高度的公式，希望你的方案中被测量的数据个数尽量少．

Answer 1

答案：
解析：

探究过程：这是一远距离测量的实际问题，需要设计一种能转化计算的可行方案．为此可利用我们所学的数学知识，尝试将要解决的问题转化为解三角形的问题．由于不能实地测量，故可考虑以下两种设计方案来测量： 　　方案一：如图所示，设建筑物为AB，人站在点P处(P与A在同一水平线上)，平视该建筑物AB，测得测角器的最高点M与建筑物的点C在同一水平线上，并测量出AC的长(即约为测角器的高度)．在点P处看建筑的最高点B，测出仰角α；向前走a米到达Q点，又测得看B点的仰角为β． 　　在△BM中，已知两角和一边，利用正弦定理可求出B＝． 　　设建筑物AB＝h，BC＝x，在Rt△BC中， 　　由三角函数可得x＝B·sinβ＝．于是h＝x＋AC可求． 　　方案二：如图所示，设建筑物为AB，在与建筑物底部A所在平面上取共线的三点P、Q、R，且使PQ＝QR＝m．将测角器分别放在点P、Q、R处可测得观察建筑物顶部B的仰角分别是α，β，γ． 　　设BC＝x，则该建筑物高h＝x＋AC． 　　在Rt△BCD、Rt△BEC、Rt△BFC中， 　　DC＝x·cotα，CE＝x·cotβ，CF＝x·cotγ． 　　在△ECF和△DCF中，由余弦定理得 　　cos∠CFE＝， 　　即． 　　解得x＝． 　　所以建筑物的高是h＝x＋AC． 　　探究结论：无论哪种设计方案，都至少需要测4个数据，如果不受测量工具和所选初始点的限制，测量方案还会更多．如也可以在与初始点P同一垂线上方选择一个测量点等，不论采取什么方案，都是把实际测量问题转化为解三角形问题．