Question

12．在市高三第一次模拟考试数学学科考试后，某同学对老师说：第（Ⅰ）卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7、8、9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除．
（Ⅰ）求该同学选择题得40分的概率；
（Ⅱ）若（Ⅱ）卷能拿65分，该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率．

Answer 1

分析 （I）确定第7、8、9三题做对的概率，第10题做对的概率，运用题意得出P=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{8}$．
（II）确定概率分布需要的概率，求解E（X），利用互斥事件的概率问题求解．

解答 解：（Ⅰ） 第7、8、9三题均有两个选项能排除，
因此，第7、8、9三题做对的概率均为$\frac{1}{2}$，第10题只有一个选项能排除，
因此，第10题做对的概率为$\frac{1}{3}$．
所以，该同学选择题得40（分）的概率P为：
P=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{8}$
（Ⅱ）设该同学7、8、9、10题中做对的题数为X，则随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=0×$\frac{1}{12}$$+1×\frac{7}{24}$$+2×\frac{3}{8}$$+3×\frac{5}{24}$$+4×\frac{1}{24}$=$\frac{11}{6}$，
所以，该同学数学得分的期望为30$+5×\frac{11}{6}$+65=$104\frac{1}{6}$．
该同学数学得分不低于100分的概率为P=$\frac{7}{24}$$+\frac{3}{8}$$+\frac{5}{24}$$+\frac{1}{24}$=$\frac{11}{12}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想