Question

已知直线x=3与双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的渐近线交于E₁，E₂两点，记

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，任取双曲线上的点P，若

OP

=a

e1

+b

e2

（a，b∈R），则下列关于a，b的表述：
①4ab=1   ②0＜a²+b²＜

1

2

   ③a²+b²≥1   ④a²+b²≥

1

2

   ⑤ab=1
其中正确的是

 

．

Answer 1

分析：求出双曲线的渐近线方程，可得E₁，E₂两点的坐标，利用向量知识求出P的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．

解答：解：双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的渐近线方程为y=±

2

3

x，
将直线x=3代入y=±

2

3

x，可得E₁（3，2），E₂（3，-2）．
∵

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，
∴

e1

=（3，2），

e2

=（3，-2），
∴

OP

=a

e1

+b

e2

=（3a+3b，2a-2b），
∴P（3a+3b，2a-2b），
∵P是双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的点，
∴

(3a+3b)2

9

-

(2a-2b)2

4

=1，
∴（a+b）²-（a-b）²=1，
∴4ab=1，∴①正确；
∵a²+b²≥2ab=

1

2

，∴④正确；
故答案为：①④．

点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P的坐标是关键．