Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间（-2，2）上不单调，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导致，利用函数y=f（x）在x=-2时有极值，建立方程关系即可，求f（x）的解析式；
（2）根据函数的单调性与导数之间的关系建立条件关系即可求b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+5，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
∵函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
即f'（1）=3+2a+b=3  ①，
∵函数y=f（x）在x=-2时有极值，
∴f'（-2）=12-6a+b=0 ②
解得a=2，b=-4，
即f（x）的解析式为f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）函数f（x）在区间（-2，2）不单调，等价于导函数f'（x）在（-2，2）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，
即函数f'（x）在（-2，2）上存在零点，
根据零点存在定理，有f'（-2）f'（2）＜0，
即12+3b）（12-b）＜0
整理得：（b-12）（b-4）＞0，
解得 b＜-4或b＞12．

点评：本题主要考查函数的单调性，极值和函数导数之间的关系，利用导数的几何意义求出a，b是解决本题的关键，考查学生的计算能力，