Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小；

(3)当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)过M作MG⊥AB，连结GN，则MG＝AM·sin45°＝(－a)＝1－a＝AG． 　　∴BG＝1－AG＝a．在△BGN中，由余弦定理，得GN＝a，又∵面ABCD⊥面ABEF， 　　∴MG⊥面ABEF，∴MG⊥GN．∴MN＝＝ 　　＝．(0＜a＜) 　　(2)由(1)知MN＝，所以当a＝时，MN＝，即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为． 　　(3)取MN的中点H，连结AH、BH，∵AM＝AN，BM＝BN．∴AH⊥MN，BH⊥MN． 　　∠AHB即为二面角α的平面角，又AH＝BH＝，所以，由余弦定理，得 　　cosα＝＝－．故所求二面角的余弦值为－．