Question

已知定义在R上的函数y=f（x）和y=g（x），则“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”是“y=f（x）+g（x）是奇函数”的（　　）条件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

Answer 1

分析：当“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，由奇函数的定义可证“y=f（x）+g（x）是奇函数”；但由“y=f（x）+g（x）是奇函数”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，可通过反例来说明．

解答：解：因为“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
所以f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-[f（x）+g（x）]，即“y=f（x）+g（x）是奇函数”，
故由“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”可推得“y=f（x）+g（x）是奇函数”；
但由“y=f（x）+g（x）是奇函数”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”，
如，f（x）=x-x²，g（x）=x+x²，显然有f（x）+g（x）=2x为奇函数，但f（x）、g（x）均不是奇函数．
故“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”是“y=f（x）+g（x）是奇函数”的充分不必要条件．
故选A

点评：本题为充要条件的判断，熟练掌握函数的奇偶性是解决问题的关键，属基础题．