Question

已知函数f(x)=Acos(

x

4

+

π

6

)-

2

，且f(

π

3

)=0，
（1）求A的值及函数的单调减区间；
（2）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．

Answer 1

分析：（1）通过f(

π

3

)=0，即可求A的值，利用及函数的单调减区间；
（2）利用余弦函数的对称轴方程与对称中心，直径求函数的对称轴方程和对称中心坐标．

解答：解：（1）∵f(

π

3

)=0，∴0=Acos(

π

12

+

π

6

)-

2

，Acos

π

4

=

2

，解得A=2．
∴f(x)=2cos(

x

4

+

π

6

)-

2

，
由2kπ≤

x

4

+

π

6

≤2kπ+π，
得-

2π

3

+8kπ≤x≤

10π

3

+8kπ， k∈Z，
单调减区间为(-

2π

3

+8kπ，

10π

3

+8kπ) k∈Z．
（2）对称轴方程满足：

x

4

+

π

6

=kπ    k∈Z
∴对称轴方程为x=-

2π

3

+4kπ(k∈Z)  k∈Z
∵对称中心的横坐标为：

x

4

+

π

6

=kπ+

π

2

k∈Z，解得x=

4π

3

+4kπ，k∈Z
∴对称中心坐标为(

4π

3

+4kπ，-

2

)(k∈Z)．

点评：考查了正弦函数的单调性、对称轴以及对称中心等性质，考查基本知识的应用．