Question

如图所示，圆锥SO的轴截面△SAB是边长为4的正三角形，M为母线SB的中点，过直线AM作平面β⊥面SAB，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C，则椭圆C的短半轴为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：过C作平行于圆锥底面的截面（圆形），交AS、BS于R、T，交椭圆C于两点P、Q，则P、Q即是椭圆短半轴顶点，先利用轴截面△SAB是边长为4的正三角形，C为AM的中点，计算RC，TC的值，再利用相交弦定理即可求得．
解答：解：过椭圆C作平行于圆锥底面的截面（圆形），交AS、BS于R、T，交椭圆C于两点P、Q，则P、Q即是椭圆短半轴顶点
在所作的圆中，RT为直径，如图，
∵轴截面△SAB是边长为4的正三角形，C为AM的中点
∴TC==2，RC==1，
∵PQ⊥RT，∴PC=CQ
∴利用相交弦定理可得：PC×CQ=TC×RC
∴
∴椭圆C的短半轴为
故选A．
点评：本题以圆锥为载体，考查圆锥的截面问题，考查椭圆的性质，解题的关键是确定椭圆短半轴顶点．