Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．

（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有；

（Ⅱ）设，当平面EDC平面SBC时，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：(Ⅰ)连接，过点作，交于点，先证明，再由得到，依据直线与平面垂直的判定定理可知，，从而由直线与平面垂直的性质定理可得到；(Ⅱ) 分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，根据，求得，由，以及，，分别取平面和平面的法向量和，则由已知条件“”可得，从而解出的值；(Ⅲ) 当时，，分别求出平面和平面的一个法向量，求出它们的法向量的夹角，根据二面角是一个钝角，那么法向量的夹角或夹角的补角即是所求的二面角.

试题解析：(Ⅰ)连接，过点作，交于点，如图：

∵，∴，

又∵，∴，

∴，又，∴，

∵，∴，

∵，∴.

(Ⅱ)分别以，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图：

 

设，则，

∵，，，，

所以，，

取平面的一个法向量，

∵，，取平面的一个法向量，

∴.

（Ⅲ）当时，，，，，，

取平面的一个法向量，

取平面的一个法向量，则，

∴二面角为.

考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质定理；3.向量夹角；4.空间直角坐标系；5.二面角