Question

已知函数．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当a=1时，求出切点坐标，然后求出f'（x），从而求出f'（1）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后将a分离，利用基本不等式可求出a的取值范围；
（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）≥g（x）成立，只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，函数，
∴f（1）=1-1-ln1=0.，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1-1=1．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1，
即y=x-1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）．
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
即：ax²-x+a≥0得：恒成立．
由于，
∴，
∴
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是．…（8分）
（III）∵在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）_min=1，x=1时，g（x）_max=e，即g（x）∈[1，e]
f'（x）=令h（x）=ax²-x+a
当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1
又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]
而f（x）_max=f（e）=，g（x）_min=1，即）=≥1
解得a≥
∴实数a的取值范围是[，+∞）
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．