Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁与底面ABCD垂直，B₁A、B₁B、B₁C与底面ABCD的夹角均为45°，AD∥BC，且AB=BC=2，AD=1
（1）求异面直线BB₁与CD所成角的余弦值；
（2）求直线AC与平面AB₁B所成角的余弦值；
（3）求三棱锥D₁-ACB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）先根据条件作B₁E⊥底面ABCD，得到E是AC的中点；建立如图所示的空间直角坐标系，得到各对应点的坐标，进而求出两直线所在向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．
（2）先求出平面的法向量，再根据利用向量求线面角的方法一步步进行即可；
（3）先根据条件求出D₁到平面ACB₁的距离，再代入体积计算公式即可．

解答：解（1）：因为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁与底面ABCD垂直，B₁A、B₁B、B₁C与底面ABCD的夹角均为45°，AD∥BC，且AB=BC=2，AD=1；
所以：作B₁E⊥底面ABCD，此时E是AC的中点；
AE=BE=CE；∴∠ABC=90°．
∴△ABC为等腰直角三角形．AC=2

2

，CE=AE=

2

=B₁E．
∵AD∥BC；
∴底面ABCD为直角梯形．

过点E分别作AD，AB的平行线，并分别以其为X轴，Y轴，以B₁E所在的直线为Z轴．
则在下底面内B（1，-1，0），C（1，1，0），E（0，0，0），A（-1，-1，0），D（-1，0，0）；B₁（0，0，

2

）．D₁（-2，1，

2

）．
∴

BB 1

=（-1，1，

2

），

CD

=（-2，-1，0）；

AC

=（-2，-2，0），

AB

=（2，0，0）．
∴cos＜

BB 1

，

CD

＞=

BB 1 • CD

| BB 1 |•| CD |

=

2-1

2× 5

=

5

10

．
（2）设平面AB₁B的一个法向量

n

=（x，y，z）
因为

AB

=(2，0，0)，

AB1

=（1，1，

2

）．
则

n • AB =0 n • AB 1 =0

⇒

2x=0 x+y+ 2 z=0

⇒

n

=（0，-

2

，1）．
∴cos＜

AC

，

n

＞=cosθ=

AC • n

| AC |•| n |

=

-2 2

2 2 × 3

=-

3

3

．
∴直线AC与平面AB₁B所成角的余弦值cos（

π

2

-θ）=sinθ=

1-cos 2θ

=

6

3

．
（3）由第一问得

D 1A

=（1，-2，-

2

）．
设平面ACB₁的一个法向量

e

=（a，b，c）
则

e •  AC =0 e • AB 1 =0

⇒

a+b=0 a+b+ 2 c=0

⇒

e

=（1，-1，0）
∴D₁到平面ACB₁的距离d=

|cos＜ D 1A ， e ＞|

| e |

=

1+2

2

=

3 2

2

．
又S△ACB1=

1

2

AB₁•B₁C=

1

2

×2×2=2．
故三棱锥D₁-ACB₁的体积v=

1

3

S△ACB1．d=

1

3

×2×

3 2

2

=

2

．

点评：本题是道难题．它的难点在于不是直棱柱，空间直角坐标系的建立比较麻烦，本题适合程度较高的学生来做．