Question

对每一实数对（x，y），函数f（t）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+f（xy）+1．若f（-2）=-2，试求满足f（a）=a的所有整数a=

 

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Answer 1

分析：通过赋值法求出f（0），f（-1），f（1）的值，判断对一切大于1的正整数a，恒有f（a）＞a，当整数a≤-4时，f（a）＞0，然后验证求出a的值．

解答：解：令x=y=0得f（0）=-1；
令x=y=-1，由f（-2）=-2得，f（-1）=-2，
又令x=1，y=-1可得f（1）=1，再令x=1，得f（y+1）=f（y）+y+2①，所以f（y+1）-f（y）=y+2，
即y为正整数时，f（y+1）-f（y）＞0，
由f（1）=1可知对一切正整数y，f（y）＞0，
因此y∈N^*时，f（y+1）=f（y）+y+2＞y+1，
即对一切大于1的正整数a，恒有f（a）＞a，由①得f（-3）=-1，f（-4）=1．
下面证明：当整数a≤-4时，f（a）＞0，
因a≤-4，故-（a+2）＞0，由①得：f（a）-f（a+1）=-（a+2）＞0，
即f（-5）-f（-4）＞0，f（-6）-f（-5）＞0，…，f（a+1）-f（a+2）＞0，f（a）-f（a+1）＞0
相加得：f（a）-f（-4）＞0，因为：a≤4，故f（a）＞a．
综上所述：满足f（a）=a的整数只有a=1或a=2．
故答案为：1或-2．

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的单调性以及运算，赋值法的应用，考查分析问题解决问题的能力．