Question

7．已知△ABC是锐角三角形，向量$\overrightarrow{m}$=（cos（A+$\frac{π}{3}$），sin（A+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求A-B的值；
（Ⅱ）若cosB=$\frac{3}{5}$，AC=8，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用向量的垂直，数量积为0，通过两角和与差的三角函数以及平方差公式，化简表达式，根据锐角三角形，求得A+$\frac{π}{3}$-B的取值范围，即可求得A-B的值；
（2）由（1）可知：A=B+$\frac{π}{6}$，利用两角和的正弦公式求得sinA，由正弦定理即可求得BC．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=cos（{A+\frac{π}{3}}）cosB+sin（{A+\frac{π}{3}}）sinB=cos（{A+\frac{π}{3}-B}）=0$，
$A，B∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$（{A+\frac{π}{3}-B}）∈（{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴$A+\frac{π}{3}-B=\frac{π}{2}$，即$A-B=\frac{π}{6}$；
（2）∵$cosB=\frac{3}{5}$，$B∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$sinB=\frac{4}{5}$，
∴$sinA=sin（{B+\frac{π}{6}}）=sinBcos\frac{π}{6}+cosBsin\frac{π}{6}$，
=$\frac{4}{5}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{3}{5}•\frac{1}{2}=\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$，
由正弦定理，得$BC=\frac{sinA}{sinB}•AC=\frac{{\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}}}{{\frac{4}{5}}}×8=4\sqrt{3}+3$．

点评 本题考查向量的数量积公式的应用，两角和的正弦公式和正弦定理，考查计算能力，属于中档题．