Question

已知f（3^x）=4xlog₂3+233，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（2⁸）的值等于______．

Answer 1

解：∵f（3^x）=4xlog₂3+233=4log₂3^x+233
∴f（x）=4log₂x+233，
∴f（2）+f（4）+f（8）+…+f（2⁸）
=8×233+4（log₂2+2log₂2+3log₂2+…+8log₂2）
=1864+144
=2008．
故答案为：2008．
分析：本题考查的知识点是函数解析式的求法，因为f（3^x）=4xlog₂3+233，利用换元法容易求出函数f（x）的解析式，结合对数的运算性质，不难求出答案．
点评：求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g-1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．