Question

已知函数f(x)＝log_a(a^x－1)(a＞0，a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)解方程f(2x)＝f^－1(x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)要使函数有意义，则需ax－1＞0． 　　①当a＞1时，由ax－1＞0得ax＞1x＞0，所以函数的定义域是(0，＋∞)； 　　②当0＜a＜1时，由ax－1＞0得ax＞1x＜0，所以函数的定义域是(－∞，0)． 　　由上可知：当a＞1时，函数的定义域是(0，＋∞)；当0＜a＜1时，函数的定义域是(－∞，0)． 　　(2)分类讨论：①当a＞1时，任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则有1＜ax1＜ax2． 　　所以有0＜－1＜－1． 　　所以loga(－1)＜loga(－1)，即f(x1)＜f(x2)． 　　所以，当a＞1时，函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，a≠1)在其定义域上是增函数． 　　同理，当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，a≠1)在其定义域上也是增函数． 　　(3)由y＝loga(ax－1)(a＞0，a≠1)，求得其反函数是f－1(x)＝loga(ax＋1)(a＞0，a≠1)． 　　又f(2x)＝f－1(x)，所以有loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)． 　　则由对数函数的性质可得a2x－1＝ax＋1，解得ax＝2或ax＝－1(舍去)． 　　所以ax＝2，由此可得x＝loga2． 　　经检验，知x＝loga2是所给方程的根． 　　思路分析：由于本题中a与1的关系不确定，则应在分类讨论的前提下求函数的定义域和讨论函数的单调性．在解(3)时应首先求出原函数的反函数．