Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证EF⊥CD
（2）求点B到平面DEF的距离．
（3）求二面角B-DF-E的大小．

Answer 1

分析：（1）先证明EF∥PA，再证明CD⊥平面PAD，即可证明EF⊥CD；
（2）利用V_F-DEB=V_B-DEF，可求B到平面DEF的距离；
（3）设AC∩BD=O，OB中点是G，连EG，可得∠EFG是二面角B-DF-E的平面角，由此即可求得二面角B-DF-E的大小．

解答：（1）证明：∵E、F分别是AB、PB的中点，∴EF∥PA
∵ABCD为正方形，∴AD⊥CD
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD
∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD，∴PA⊥CD
∴EF⊥CD；
（2）解：设B到平面DEF的距离为h
△DEF中，DE=

5

2

a，DF=

3

2

a，EF=

2

2

a，∴DF⊥EF，∴S△DEF=

1

2

×

3

2

a×

2

2

a=

6

8

a2
∵VF-DEB=

1

3

×S△DEB×

a

2

=

1

24

a3，V_F-DEB=V_B-DEF
∴

1

3

×

6

8

a2h=

1

24

a3，∴h=

6

6

a
∴B到平面DEF的距离为

6

6

a；
（III）解：设AC∩BD=O，OB中点是G，连EG，则EG∥AO
∵AO⊥平面PDB，∴EG⊥平面BDF    
连GF，∵EF⊥DF，∴GF⊥DF，∴∠EFG是二面角B-DF-E的平面角
又EG=

1

2

AO=

2

4

a，∴sin∠EFG=

EG

EF

=

1

2

，∴∠EFG=

π

6

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查点到面的距离，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．