Question

已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点.

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求证：B₁F⊥平面AEF；

（3）求二面角B₁-AE-F的大小.?

Answer 1

解法一：（1）证明：取AB的中点M，?

∵D为B₁A的中点，?

∴DMBB₁.                                                                                                      ?

又由E是CC₁的中点，易得ECBB₁，∴DMEC.                                                ?

∴四边形DMCE是平行四边形.∴DE∥MC.                                                                    ?

又DE平面ABC，MC平面ABC，?

∴DE∥平面ABC.                                                                                                   ?

（2）证明：由已知，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，

∴AF⊥BC.有AF⊥平面BB₁C₁C.                                                                                    ?

又B₁F平面BB₁C₁C，∴B₁F⊥AF.                                                                       ?

在RT△B₁BF和RT△FCE中，由已知可得BC=BB₁，CC₁=BB₁，?

∴==，===.?

∴RT△B₁BF∽RT△FCE.?

∴∠BB₁F=∠EFC.而∠BB₁F+∠B₁FB=90°，?

∴∠B₁FB+∠EFC=90°.?

∴∠B₁FE=90°，即B₁F⊥EF.                                                                                  ?

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                                                                 ?

（3）解：过F作FN⊥AE于点N，连结B₁N，设AB=A，                                              ?

∵B₁F⊥平面AEF，∴B₁N⊥AE.?

∴∠B₁NF为二面角B₁-AE-F的平面角.                                                                   ?

∵AF⊥平面BB₁C₁C，EF平面BB₁C₁C，?

∴EF⊥AF.∴在RT△AEF中，可求得FN=A.

在RT△B₁FN中，∠B₁FN=90°，?

∴tan∠B₁NF==.                                                                                        ?

∴∠B₁NF=arctan，即二面角B₁-AE-F的大小为arctan.                                ?

解法二：以A为原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，设AB=AA₁=AC=2A＞0，可知各点坐标分别为A（0，0，0），B（2A，0，0），C（0，2A，0），B₁（2A,0,2A），E（0,2A,A），F（A,A,0），D（A,0,A）.                                           ?

（1）证明：=(-A,2A,0),又因为(-A,2A,0)=A(-1,2,0),即=A(-1,2,0)，?

∴与向量（-1，2，0）平行.?

设点G（-1，2，0），则=（-1，2，0）.                                                            ?

∴与平行，而直线AG在平面ABC内，直线DE在平面ABC外，

∴DE∥平面ABC.                                                                                                   ?

（2）证明：=(-A,A,-2A),=(A,-A,-A),

=(A,A,0),∴·=-A×A+A×(-A)+(-2A)×(-A)=0,·=-A×A+A×A-2A×0=0.        ?

∴⊥，⊥.?

又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                                                                 ?

（3）解：由（2）知=(-A,A,-2A)是平面AEF的一个法向量，设二面角B₁-AE-F的大小为θ，根据已知得θ是锐角，设平面AEB₁的一个法向量为n=(x,y,1).               ?

∵=(0,2A,A),=(2A,0,2A),且                                            ?

∴解之，得

∴n=(-1,-,1).                                                                                                       ?

∴cosθ==.∴θ=arccos.?

∴二面角B₁-AE-F的大小为arccos.