Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•sin²

nπ

2

-b_n•cos²

nπ

2

（n∈N^*），求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析：（1）两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b_n}，直接利用点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上，代入得数列{b_n}是等差数列即可求通项；
（2）利用c_n=a_n•sin²

nπ

2

-b_n•cos²

nπ

2

（n∈N^*），可表示数列{c_n}的前2n项和T_2n，再分组求和．

解答：解：（1）S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，又S_n-S_n-1=a_n，（n≥2，n∈N^*）

∴an=2an-2an-1， ∵an≠0，

∴

an

an-1

=2，(n≥2，n∈N*)，即数列{an}是等比数列
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2，∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1
（2）T_2n=(a1+a3++a2n-1)-(b2+b4++b2n)=

2(4n-1)

3

-n(2n+1)

点评：本题主要考查数列的通项的求解，当和与通项同时存在时，通常再写一式，作差求解．对于数列求和通常可转化为等差数列或等比数列求解．