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    已知a、b、c∈R,求证:a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca,并说明等号何时成立.

    证法一:由a2+3b2+c2-3ab-3bc+ca=a2-(3b-c)a+(3b2-3bc+c2)=(a-)2+ =(a-)2+≥0,

    得a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca,

    当且仅当a=且b=c,

    即a=b=c时,等号成立.

    证法二:令f(a)=a2+3b2+c2-3ab-3bc+ca=a2-(3b-c)a+(3b2-3bc+c2),

    则f(a)是a的二次函数,且二次项系数为正.

    由于Δ=(3b-c)2-4(3b2-3bc+c2)=-3b2+6bc-3c2=-3(b-c)2≤0,对一切b、c∈R恒成立,因此f(a)≥0对一切a∈R恒成立.

    所以a2+3b2+c2≥3ab+3bc-ca.

    当且仅当b=c时,Δ=0,这时a==b,故等号在a=b=c时成立.

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    13
    ．

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    1
    a
    +
    1
    2b
    +
    1
    3c
    的最小值为
    9
    9
    ．

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    1
    3
    ；
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    1
    a
    +
    1
    b
    +
    1
    c
    ＞
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ．

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