Question

如图，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱与底面边长皆为2，D是BC的中点，

(1)求证：A₁B∥平面C₁AD；

(2)求直线A₁B与平面C₁AD间的距离；

(3)求二面角C-AC₁-D的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:连结A₁C交AC₁于点E，连结ED.在△A₁BC中，E、D分别为A₁C、CB的中点，有ED∥A₁B.

又ED平面C₁AD，A₁B平面C₁AD，

∴A₁B∥平面C₁AD.                                                  

(2)易证AD⊥平面B₁BCC₁.又AD平面C₁AD，则平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁,且C₁D为这两个互相垂直平面的交线.

由于A₁B∥平面C₁AD，则直线A₁B与平面C₁AD的距离等于点B到平面C₁AD的距离，等于点B到直线C₁D的距离.

作BM⊥C₁D交C₁D的延长线于M，可求得BM=.                   

(3)由于平面B₁BCC₁⊥平面C₁AD，过C作CF⊥C₁D于F，交C₁D于F,则CF⊥平面C₁AD，连结EF，则∠CEF为所求.可求得CE=，CF=,在Rt△CEF中，sin∠CEF==，

∴二面角CAC₁D的平面角为arcsin.                                 1

解法二:如图建立空间直角坐标系，可求出如下各点的坐标：

A(0，0，0)，A₁(0，0，2)，B(1，，0)，B₁(1，，2)，C(-1，，0)，C₁(-1，，2)，D(0，，0).                                                   

(1)证明:连结A₁C交AC₁于E，连结ED.

则E(-,,1)，=(1，，-2)，=(,,-1)，有=2，则∥.

又A₁B与B₁D不共线，则A₁B∥ED.                                      

(2)同解法一.

(3)易证⊥，=(-,,-1)，作DF⊥AC₁于F，设F(x,y,z),

则=(-x,-y,-z)，又=(1，-，-2)，=(-x,-y,-z)，

由与共线,得x=-λ,y=λ,z=2λ，

则=(λ, -λ,-2λ).

由⊥,得λ-3+3λ+4λ=0.

解之,得λ=.∴=(,,-).

则cos〈,〉=.

∴二面角的平面角为arccos.