Question

已知函数f（x）=10^x，且实数a，b，c满足f（a）+f（b）=f（a+b），f（a）+f（b）+f（c）=f（a+b+c），则c的最大值为

lg

4

3

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=10^x，且实数a，b，c满足f（a）+f（b）=f（a+b），可得10^-a+10^-b=1，由基本不等式可得10^-（a+b）≤

1

4

，再由f（a）+f（b）+f（c）=f（a+b+c），可得10^-c≥

3

4

，进而可得c的最大值

解答：解：∵f（x）=10^x，f（a）+f（b）=f（a+b），
∴10^a+10^b=10^a+b=10^a×10^b…①
∴10^-a+10^-b=1．
由基本不等式可得10^-（a+b）≤

1

4

又∵f（a）+f（b）+f（c）=f（a+b+c），
∴10^a+10^b+10^c=10^a+b+c=10^a×10^b×10^c…②
将①代入②得：10^a×10^b+10^c=10^a×10^b×10^c
∴10^-c+10^-（a+b）=1，
∴10^-c≥

3

4

∴-c≥lg

3

4

∴c≤-lg

3

4

=lg

4

3

即c的最大值为lg

4

3

故答案为：lg

4

3

点评：本题考查的知识点是指数的运算性质，对数的运算性质，及基本不等式，其中根据已知结合基本不等式求出10^-a+10^-b=1进而得到10^-（a+b）≤

1

4

是解答的关键．