Question

P是以F₁，F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，且cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：先计算sinβ，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，再利用正弦定理求出n=

20

21

a，m=

22

21

a，利用余弦定理，即可得出结论．

解答：解：∵cosα=

5

5

，sin（α+β）=

3

5

，
∴sinα=

2 5

5

，cos（α+β）=±

4

5

，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=

3

5

•

5

5

+

4

5

•

2 5

5

=

11 5

25

或

3

5

•

5

5

-

4

5

•

2 5

5

＜0（舍去），
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则由正弦定理可得

m

11 5 25

=

n

2 5 5

，
∴m=

11

10

n，
∵m+n=2a，
∴n=

20

21

a，m=

22

21

a
由余弦定理可得(

20

21

a)2=(

22

21

a)2+4c2-2•

22

21

a•2c•

5

5

，
整理可得22e2-

22 5

5

e+1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=

5

7

．
故答案为：

5

7

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，综合性强．