Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a＞0）在x=x₁和x=x₂处取得极值．
（Ⅰ）若c=﹣a²，且|x₁﹣x₂|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f '（x）+x，若0＜x₁＜x₂＜，且x∈（0，x₁），证明：x＜g（x）＜x₁．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵c=﹣a²，
∴f ' （x）=3ax²+2bx﹣a²，
∵x₁、x₂是方程3ax²+2bx﹣a²=0的两根，a＞0，
∴x₁+x₂=﹣，x₁x₂=﹣；
∵|x₁﹣x₂|=2，
∴﹣4x1x2=4，即﹣4（﹣）=4，
整理得b²=3a²（3﹣a），
∵b²≥0，∴0＜a≤3；
设h（a）=﹣3a³+9a²，
则h'（a）=﹣9a²+18a；
由h'（a）＞0，得0＜a＜2；由h'（a）＜0，得a＞2．
∴h（a）=﹣3a³+9a²在区间（0，2）上是增函数，在区间（2，3）上是减函数，
∴当a=2时，h（a）有极大值12，
∴h（a）在（0，3]上的最大值是12，
从而b的最大值是2
（Ⅱ）由g（x）=f '（x）+x，得f '（x）=g（x）﹣x，
∵x₁、x₂是方程f '（x）=0的两根，
∴f '（x）=g（x）﹣x=3a（x﹣x₁）（x﹣x₂），当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，
故（x﹣x₁）（x﹣x₂）＞0，又a＞0，
故g（x）﹣x=3a（x﹣x₁）（x﹣x₂）＞0，即g（x）＞x；
又x₁﹣g（x）=x₁﹣[x+f '（x）]=x₁﹣x﹣3a（x﹣x₁）（x﹣x₂）=（x₁﹣x）[1+3a（x﹣x₂）]，
，
∴x₁﹣x＞0，[1+3a（x﹣x₂）]=1+3ax﹣3ax₂＞1﹣3ax₂＞0，
∴g（x）＜x₁；
综上所述：x＜g（x）＜x₁．